SOAL DAN PEMBAHASAN VEKTOR

Assalamualaikum semuanya perkenalkan nama saya Raihan Fallah Suryabima saya biasa dipanggil Raihan, saya berasal dari SMAN 63 Jakarta Selatan. Pada kesempatan kali ini saya akan memberikan contoh soal-soal dari materi vektor beserta pembahasannya. Soal yang saya berikan berasal dari refrensi google dan buku sekolah. Selamat belajar!!!

1. Menyelesaikan pengertian vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

    

    1) Pengertian dari vektor berdimensi dua dan tiga

       = Dalam vektor ruang dua dimensi  memiliki dua vektor basis yaitu dan .           Sedangkan dalam tiga dimensi  memiliki tiga vektor basis yaitu , ,           dan .
      

2.  Menyelesaikan operasi pertambahan (+) vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

     1) Penjumlahan vektor berdimensi dua

        = 

         2) Penjumlahan vektor berdimensi tiga

            =

            

3. Menyelesaikan operasi pengurangan (-) vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

      1) Pengurangan vektor berdimensi dua

         =

      
             2) Pengurangan vektor berdimensi tiga
                =

                

4. Menyelesaikan operasi perkalian ( . ) dengan skalar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

         1) Ruang berdimensi dua

           =

        2) Ruang berdimensi tiga

           = 

5. Menyelesaikan operasi perkalian ( . ) dua vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

        1) Ruang berdimensi dua

          = 

           2) Ruang berdimensi tiga

             = 

6. Menyelesaikan kesamaan dua vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang)  dan berdimensi tiga

          Contoh soal:

7. Menyelesaikan panjang vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

        1) Ruang berdimensi dua

          = 

         2) Ruang berdimensi tiga

           = 

8. Menyelesaikan perbandingan antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

       Contoh soal

      = 

9. Menyelesaikan panjang proyeksi  vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

       Contoh soal

      =

       

10. Menyelesaikan proyeksi vektor orthogonal dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

         Contoh soal

         = 

11. Menyelesaikan sifat vektor yang segaris/sejajar dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

        Contoh soal

       = 

12. Menyelesaikan sifat vektor yang tegak lurus dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

       Contoh soal

        =

        

13. Menyelesaikan sifat vektor jika 2 vektor yang sama dikalikan maka hasilnya kuadrat dari panjang vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

        Contoh soal

        = 

14. Menyelesaikan sifat vektor jika 2 vektor yang berbeda dikalikan maka berlaku hukum komutatif dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

        Contoh soal

        = Titik  P(2,3,1), Q(2,5,-3), R(-3,1,2) Tentukan Vektor (QR} dan {PQ}

            Pembahasan :    {a} - {b} = {b} - {a}

                                       = q - p = (2,5,-3)- (2,3,1)= (0,2,-4)

                                       = r - q = (-3,1,2)- (2,5,-3)= (-5,-4,5)

15.  Menyelesaikan sifat vektor jika 3 vektor berlaku hukum distributif dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

       Contoh soal
     = Diketahui vektor a = (-6, 5, -2), b = (-5, 4, -3), dan c = (8, -7, 0). Jika c = ma + nb, maka

        m-n =??

PEMBAHASAN

⇔ (8, -7, 0) = m x (-6, 5, -2) + n x (-5, 4, -3)

⇔ (8, -7, 0) = (-6m, 5m, -2m) + (-5n, 4n, -3n)

-6m + (-5n) = 8 ... (1)

5m + 4n = -7 ... (2)

-2m - 3n = 0 ... (3)

Ketiga persamaan di atas membentuk sistem persamaan linear.

Persamaan (1) dan (3), kIta eliminasi m, diperoleh

-6m - 5n = 8 |x 1|

-2m - 3n = 0 |x 3|

-6m - 5n = 8

-6m - 9n = 0

__________-

⇔ -5n - (-9n) = 8

⇔ -5n + 9n = 8

⇔ 4n = 8

⇔ n = 2

Kita substitusikan n = 2 ke persamaan (2), diperoleh

5m + 4n = -7

⇔ 5m + 4 x 2 = -7

⇔ 5m + 8 = -7

⇔ 5m = -7 - 8

⇔ 5m = -15

⇔ m = -15/5

⇔ m = -3

 m - n = -3 - 2 = -5.

Jadi, jika vektor a = (-6, 5, -2), b = (-5, 4, -3), dan c = (8, -7, 0), kemudian c = ma + nb, maka nilai m - n adalah -5.

16. Menyelesaikan vektor searah, berlawanan arah, identitas dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

       Contoh soal

       =

 1. 2Diberikan vektor a=(-2,x,5), b=(3,-1,2), dan c=(y,-2,x).Vektor a tegak lurus dengan b.sedangkan vektor b searah dengan c.Tentukan :

a. Nilai x dan y
b. Hasil operasi (a+b-c)

PEMBAHASAN:

• a T b :

a.b = 0

(-2 x 5) (3 -1 2) = 0

-6 - x + 10 = 0

-x + 4 = 0

x = 4

• b // c

k.b = c

2(3 -1 2) = (y -2 x)

(6 -2 4) = (y -2 x)

diperoleh,

y = 6 dan x = 4

...

a = (-2 4 5)

b = (3 -1 2)

c = (6 -2 4)

maka,

• a+b+c

= (-2 4 5)+(3 -1 2)-(6 -2 4)

= [(-2+3-6) (4-1-(-2) (5+2-4)]

= [-5 5 3]

2. Diketahui ada titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Apabila titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p + q 

PEMBAHASAN:

Jika titik – titik A, B, dan C segaris maka vektor   dan vektor   bisa juga searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan bisa membentuk persamaan berikut ini :

Jika B berada diantara titik A dan C, maka akan diperoleh :

Sehingga Dapat Diperoleh :

Maka kelipatan m dalam persamaan :

Diperoleh :

Jadi, dapat disimpulkan :

p + q = 10 + 14 = 24

17. Menyelesaikan proyeksi vektor ortogonal dengan skalar dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

     Contoh soal

     =

1. Dua vektor u = 2i + 3j + mk  dan v = 4i - 4j + 2k membentuk sudut tumpul. Jika panjang proyeksi vektor u pada v adalah 2, maka nilai m adalah ...

PEMBAHASAN:
u = [2, 3, m]
v = [4, -4, 2]

Misalkan vektor proyeksi u pada v adalah p, dengan panjangnya adalah |p| = 2

$\begin{array}{cc}|p|& =\frac{|u\cdot v|}{|v|}\\ 2& =\frac{|2\left(4\right)+3(-4)+m\left(2\right)|}{\sqrt{4^2+(-4{)}^2+2^2}}\\ 2& =\frac{|2m-4|}{6}\\ 12& =|2m-4|\end{array}$

Dari persamaan nilai mutlak diatas, diperoleh
2m - 4 = 12  atau  2m - 4 = -12
2m = 16  atau  2m = -8
m = 8  atau  m = -4

Karena u dan v membentuk sudut tumpul, maka
u ‧ v < 0   ⇔   2m - 4 < 0   ⇔   m < 2

Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m = -4

2. Diketahui 3 titik A(4, -1, 2), B(4, 3, -2) dan C(1, 3, 2). Tentukan panjang proyeksi vektor AB pada BC

PEMBAHASAN:
AB = [4, 3, -2] - [4, -1, 2] = [0, 4, -4]
BC = [1, 3, 2] - [4, 3, -2] = [-3, 0, 4]

Panjang proyeksi vektor AB pada BC adalah

$\begin{array}{cc}|p|& =\frac{\left|AB\cdot BC\right|}{|BC|}\\ & =\frac{\left|0(-3)+4\left(0\right)+(-4)4\right|}{\sqrt{(-3{)}^2+0^2+4^2}}\\ & =\frac{|-16|}{5}=\frac{16}{5}\end{array}$

18. Menyelesaikan perkalian 2 vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

      Contoh soal

     =

1. Diketahui dua vektor a dan b seperti gambar di bawah,

Tentukanlah nilai a . b
PEMBAHASAN:Karena kedua pangkal vektor belum berimpit, maka kedua vektor digambar menjadi

2. Jika diketahui dua vektor a dan b dimana a = 6 cm dan b = 4 cm serta berlaku ( a + b ).( a + b ) = 16. Tentukanlah nilai a . b

Jawab

3. Diketahui tiga titik A(4, -1, 2), B(5, 2, 5) dan C(-3, 4, 0). Tentukanlah nilai AB . AC

PEMBAHASAN:

19. Menyelesaikan 3 vektor membentuk sesitiga (lancip, tumpul, siku-siku, siku-siku yang sama kaki, siku-siku yang tidak sama kaki, sama kaki, sama sisi) dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan dalam berdimensi tiga

     Contoh soal

     =

1. Diketahui segitiga ABC dengan titik

A(2, 1, 5), B(-2, 3, 3), C(1, 0, 3) besar sudut BAC = .... ?

PEMBAHASAN :

Diketahui :

A(2, 1, 5)

B(-2, 3, 3)

C(1, 0, 3)

Ditanyakan :

Sudut BAC = .... ?

Jawab :

Sudut BAC adalah sudut antara vektor AB dan AC

AB = b - a

AB = (-2, 3, 3) - (2, 1, 5)

AB = (-4, 2, -2)

|AB| = √((-4)² + 2² + (-2)²)

|AB| = √(16 + 4 + 4)

|AB| = √(24)

|AB| = 2 √6

AC = c - a

AC = (1, 0, 3) - (2, 1, 5)

AC = (-1, -1, -2)

|AC| = √((-1)² + (-1)² + (-2)²)

|AC| = √(1 + 1 + 4)

|AC| = √6

AB . AC = (-4, 2, -2) . (-1, -1, -2)

AB . AC = -4(-1) + 2(-1) + (-2)(-2)

AB . AC = 4 - 2 + 4

AB . AC = 6

AB . AC = |AB| . |AC| . cos A

6 = 2√6 . √6 cos A

6 = 12 cos A

cos A = 6/12

cos A = 1/2

cos A = cos 60°

A = 60°

Jadi sudut BAC = 60°

2. 

. 

20. Menyelesaikan nilai mutlak selisih/penjumlahan 2 vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

    Contoh soal

   = 

Jika panjang vektor a = 4, dan panjang vektor b = 6, dan panjang vektor a+b = 8, hasil dari panjang vektor a-b =

PEMBAHASAN: